3.2. Les stratégies des élèves

Les règles du jeu et les caractéristiques mathématiques présentées ci-dessous s’imposent aux élèves. Pour jouer au Chiffroscope, il faut en respecter les règles et en particulier celles qui résultent des mathématiques. Mais dans le cadre fixé par ces règles, les élèves peuvent développer différentes stratégies pour trouver le nombre mystère. Un espace de liberté et de choix est créé par le cadre construit et il permet l’apprentissage (Duflo 1995). 

Nous distinguons deux stratégies principales, correctes, mais qui ne reposent pas sur les mêmes principes. 

Les deux grandes stratégies observées : 

• la stratégie par conversion à l’unité simple (conversion à droite)
• la stratégie par conversion vers les unités supérieures (conversion à gauche) 

Stratégie par conversions en unités simples et limite de cette stratégie

Le retour à l’unité signifie que chaque unité de numération est convertie à l’unité. Cette stratégie nécessite des calculs importants avec les grands nombres et reste source de nombreuses erreurs (zéros oubliés ou en trop, non alignement des chiffres dans l’addition, erreurs de calculs, …).

A partir de l’exemple ci-dessus :

23 unités de mille       →       23 000 u

61 centaines      → +    6 100 u

et 53 unités        →       +          53 u

                                   soit         29 153

La difficulté pour les élèves, c’est que cette stratégie fonctionne parfaitement avec les nombres entiers et qu’il peut s’avérer difficile de vouloir en changer car ils n’en perçoivent pas encore la nécessité. Mais quand les élèves abordent les nombres décimaux, ils tentent d’appliquer cet outil de conversion habituel et sont démunis quand ils constatent qu’il ne fonctionne plus. Par exemple, dans 25 centièmes, quelle unité de numération retenir ? Ils doivent se référer à d’autres unités de numération.

Stratégie de conversion de chaque tirage en unités simples : exemple de travaux d’élèves illustrant les limites de cette stratégie

Cet exemple illustre les difficultés que rencontrent les élèves pour convertir de grands nombres en unités simples : l’oubli de l’absence de tirage des unités simples, ce qui rendra nécessaire les zéros correspondants (1), les conversions à l’unité non traitées dans leur ensemble (2), les défauts d’alignement des chiffres (3 et 5), les erreurs de placement d’un nombre entraînant un nombre de zéros insuffisant ou trop grand, ici 57 centaines de mille et 91 dizaines de millions en (3) et 3 millions en (4), les erreurs de calculs (5), les rectifications qui viennent embrouiller davantage les calculs (5)…

C’est pourquoi il est nécessaire d’engager les élèves dans la recherche de stratégies différentes, éventuellement plus efficaces, pour obtenir le résultat.

Stratégie par conversions en unités de numération adjacentes

Pour trouver le nombre cible, il suffit de convertir les unités de numération de façon à n’avoir qu’un seul chiffre par unité de numération puis de placer les zéros pour que chaque chiffre non nul occupe la bonne place. Dans cette stratégie les conversions s’effectuent “vers la gauche” pour transformer 10 d’une unité en 1 de l’unité immédiatement supérieure. De plus, les additions sont limitées à des nombres à deux chiffres. Cela facilite le contrôle et limite les erreurs.

Exemple de la stratégie par conversion avec unités de numération adjacente sur les nombres entiers 

Soit le tirage de 23 milliers, 45 unités simples, 50 centaines, 11 centaines et 8 unités simples (rajouter photo + texte) :

Illustration des conversions successives à partir des unités en remontant vers les dizaines, centaines etc…

–        45u + 8u = 53u = 50u + 3u et 50u = 5d   à 53u = 5d et 3u (conversion)

–        50c + 11c = 61c = 60c + 1c

61c = 610 u (retour à l’unité)

mais aussi 60c = 6um  à 61c = 6um et 1c (conversion)

–        23um + 6um = 29um = 29 000 u   (retour à l’unité)

mais aussi 29um = 20um + 9um   et 20um = 2dm  

à 29um = 2dm et 9um (conversion avec les unités adjacentes)

Exemple de la stratégie par conversion entre unités de numération adjacentes sur les nombres décimaux 

Le tirage (a) est de 22 dizaines et 8 dizaines, 14 unités simples, 53 unités simples et 23 dixièmes, soit le nombre cible 369,3. Les élèves reproduisent sur un tableau blanc les valeurs des unités de numération obtenues lors du tirage des cartes (b). Ils en font l’addition, colonne par colonne, obtenant 30 dizaines, 67 unités et 23 dixièmes (b). Écrite dans le tableau, la réponse 30d 67u et 23 dixièmes est correcte (b). Mais sortie du tableau, (en bas (b)), l’écriture 3 067,23 est erronée. Elle provient de l’absence de conversions. Dans un troisième temps (c), sur les différents supports (plateau de jeu et tableau blanc), les élèves effectuent la conversion entre unités de numération adjacentes : 67u deviennent 6d et 7u, 30d deviennent 3c et 0d et 23 dixièmes deviennent 2,3u.