3.1. Les erreurs fréquentes des élèves

Lors des expérimentations conduites avec Chiffroscope, nous avons observé chez les élèves un grand nombre d’erreurs pouvant s’expliquer par l’absence de mise en œuvre de l’un ou l’autre des deux principes de la numération. Au cours de ce travail d’analyse, il est apparu que d’autres règles intervenaient et pouvaient être mises en œuvre dans certaines réponses sans toutefois conduire à une réponse correcte, ou dans certains cas seulement. Même si des réponses incorrectes restent encore inexplicables, un certain nombre peut s’expliquer par la mise en œuvre de l’une ou l’autre de ces règles présentées ci-après, voire une combinaison de plusieurs d’entre-elles, conduisant à des réponses incorrectes.

Unités de numération non positionnées dans l’ordre conventionnel
Oubli des zéros à droite lorsque les unités et les dizaines ne font pas l’objet d’un tirage
Oubli des zéros intercalés pour les unités de numération qui ne font pas l’objet d’un tirage
Erreurs de calcul liées à l’alignement des chiffres dans l’addition de grands nombres (notamment lors de conversions à l’unité simple de grands nombres dans la stratégie retour à l’unité lien)

Avec les nombres décimaux, pas de conversion entre partie entière et partie décimale ici l’exemple avec 23 dixièmes (a)
Former le nombre en juxtaposant les cartes/nombres du tirage. Exemple

Valeur /Unité de numération décalée à droite : « Le chiffre le plus à gauche devient unité de l’unité de numération considérée (sauf pour les unités simples) » Cet invariant opératoire se manifeste lorsque le chiffre le plus à gauche d’une unité de numération considérée, outre les unités, devient le chiffre des unités de cette unité de numération. (Exemple : 52 centaines = 5 centaines + 2 dizaines). (placement erroné d’un nombre à 2 chiffres et conversion incorrecte : 12 centaines devient 120, car le 12 est écrit dans les centaines, puis c’est le chiffre 1 qui reste aux centaines et le 2 passe à droite au dizaines. Les dizaines du nombre sont placées comme des unités)

Somme des nombres : Cet invariant opératoire se manifeste lorsque les nombres de l’énoncé sont ajoutés sans la prise en compte des unités de numération. Chaque nombre est considéré comme unités. Par exemple, 15 centaines, 8 dizaines et 6 unités deviennent 29.

Ordre inversé : Cet invariant opératoire se manifeste lorsque les unités de numération sont positionnées dans l’ordre inverse de l’ordre conventionnel. Tout comme sur une droite numérique, le chiffre le plus à gauche est le plus petit. Par exemple, 3 centaines et 5 unités deviennent 503.

Juxtaposition des unités de numération : Cet invariant opératoire se manifeste lorsque les nombres des unités de numération, qu’ils viennent de l’énoncé ou qu’ils soient obtenus par addition dans leur propre unité de numération, sont juxtaposés sans conversion entre unités de numération, dans l’ordre de l’énoncé ou pas. Par exemple, 8 milliers, 52 centaines, 31 dizaines et 9 unités deviennent 852 319. ou Exemple : cf livret n°……..

Traitement des unités de numération dans l’ordre de l’énoncé : Cet invariant opératoire se manifeste lorsque les nombres de l’énoncé ne sont pas dans l’ordre des unités de numération et qu’ils sont traités comme s’ils étaient dans le bon ordre, sans la prise en compte de leur unité de numération respective. Exemple : 12 unités, 20 milliers et 7 dizaines deviennent 12 207.

Prise en compte partielle ou erronée des données de l’énoncé : Cet invariant opératoire se manifeste lorsque les unités d’une classe sont considérées comme des unités simples. Par exemple, 53 unités de mille qui deviennent 53 unités simples.

Lorsque les élèves réussissent, ils mobilisent les 6 règles correctes suivantes. Quand bien même certains réponses finales sont incorrectes, vous pourrez observer la mise en œuvre de l’une ou l’autre de ces règles correctes dans les procédures. Ainsi les réponses erronées de vos élèves contiennent souvent des éléments corrects à identifier, bien qu’il soit parfois difficile de les repérer aisément. Vous pourrez vous appuyer sur ces réussites partielles pour ensuite intervenir auprès de vos élèves, pour leur signifier ce qui est correct et proposer des remédiations sur ce qui reste non maîtrisé. Les 6 règles correctes à observer chez les élèves sont :

Ordonner les unités de numération selon la suite conventionnelle.
Placer des zéros à droite pour compléter l’écriture chiffrée d’un nombre entier donné dans une autre unité de numération que les unités simples : exemple 12 centaines c’est 1 200 (écriture de deux zéros finaux pour positionner 12 centaines au bon endroit dans l’écriture du nombre) .
Placer des zéros intercalaires pour positionner les autres chiffres au bon endroit dans l’écriture du nombre : exemple 12 centaines et 5 unités c’est 1 205.
Convertir un nombre donné dans une unité de numération en unités simples : exemple 1 centaine = 100 unités donc 12 centaines = 12×100 = 1 200 (le mot unité étant souvent implicite).
Convertir un nombre dans une unité de numération donnée en une autre unité de numération adjacente ou pas : 50 centaines c’est 500 dizaines ou 5 milliers ou…
Prendre en compte les retenues, lorsqu’il y a deux nombres donnés dans une même unité de numération et que la somme est supérieure à 9 : 12 centaines et 9 centaines c’est 21 centaines donc 2 unités de mille et 1 centaine.

En conclusion, pour aider les élèves à modifier les procédures qui produisent des erreurs, il faut identifier d’une part les règles qui sont correctes même si la réponse finale est erronée et d’autre part celles qui produisent des erreurs pour y remédier. Votre expertise de diagnostic se développera au fur et à mesure de l’usage du Chiffroscope et de votre observation du travail des élèves.