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Dans cette page, vous trouverez une description des erreurs des élèves (point 1), les deux principales stratégies (la plus fréquente « retour à l’unité » et celle visée « conversion ») (point 2.) ainsi qu’une description des contenus des mises en commun qui permettent de discuter des erreurs, de faire évoluer les stratégies des élèves et donc de transformer le jeu en occasion d’apprentissage (point 3).

1. Les erreurs fréquentes des élèves

Lors des expérimentations conduites avec le Chiffroscope, nous avons observé chez les élèves un grand nombre d’erreurs pouvant s’expliquer par l’absence de mise en œuvre du principe de position ou du principe décimal de la numération. Au cours de ce travail d’analyse, il est apparu que d’autres règles intervenaient également dans la production de certaines réponses sans toutefois conduire à une réponse correcte, ou dans certains cas seulement. Même si certaines réponses incorrectes restent encore incompréhensibles, plusieurs d’entre elles peuvent s’expliquer par la mise en œuvre de l’une ou l’autre des règles présentées ci-après, voire une combinaison de plusieurs d’entre-elles. Nous présentons les principales règles observées afin que vous puissiez les reconnaître vous aussi dans le travail de vos élèves et ensuite y remédier.

Exemples de règles erronées observées dans les stratégies des élèves :

• Position des unités de numération dans un ordre non conventionnel. Par exemple, les élèves positionnent les unités de numération de gauche à droite, au fur et à mesure du tirage, sans tenir compte de l’ordre conventionnel des unités de numération. Les nombres associés à ces unités de numération sont ensuite traités comme s’ils étaient dans le bon ordre, sans la prise en compte de leur unité de numération respective. Exemple d’un tirage successif de 12 unités puis 20 milliers et enfin 7 dizaines qui donne le nombre 12 207.
• Ordre inversé : les unités de numération sont positionnées dans l’ordre inverse de l’ordre conventionnel. En analogie avec l’orientation habituelle de la droite numérique (0 à gauche et infini à droite), les unités simples sont à gauche des dizaines, elles-mêmes à gauche des centaines etc. Par exemple, un tirage de 3 centaines et 5 unités donne 503.
• Juxtaposition des cartes Nombre du tirage pour écrire le nombre : par exemple écrire le nombre 1423 pour un tirage de 14 dizaines et 23 unités. Les élèves ne réalisent pas les conversions nécessaires lorsqu’un nombre a deux chiffres apparait dans le tirage.
• Oubli des zéros à droite pour écrire le nombre lorsque les unités et les dizaines n’ont pas fait l’objet d’un tirage : par exemple écrire le nombre 143 pour un tirage de 14 centaines et 3 dizaines.
• Oubli des zéros intercalés dans l’écriture du nombre pour les unités de numération qui n’ont pas fait l’objet d’un tirage : par exemple écrire le nombre 143 pour un tirage de 14 centaines et 3 unités.
• Défaut d’alignement des chiffres lors de l’addition de grands nombres (notamment lors de conversions à l’unité simple de grands nombres dans la stratégie retour à l’unité).
• Nombre /Unité de numération décalé à droite : par exemple, le tirage 52 centaines est considéré comme 5 centaine et 2 dizaines conduisant à 52 centaines = 5 centaines + 2 dizaines = 520. Lorsqu’une carte Nombre contient un nombre à deux chiffres 52, les élèves résolvent le problème en considérant que le chiffre à gauche (5 dans l’exemple) reste dans l’unité de numération associée à la carte et que le chiffre à droite (2 dans l’exemple) est relatif à l’unité de numération juste à droite (sauf pour les unités simples). Il s’agit d’un placement erroné d’un nombre à 2 chiffres dans le tableau et donc d’une conversion incorrecte de 52 centaines en 5 centaines et 2 dizaines.
• Somme des nombres : les nombres de l’énoncé sont additionnés sans prendre en compte les unités de numération associées à chaque tirage. Ainsi chaque nombre est considéré comme étant un nombre d’unités simples. Par exemple, un tirage de 15 centaines, 8 dizaines et 6 unités donne le nombre 29 = 15+8+6 (au lieu de 1586). 
• Absence de conversion entre partie entière et partie décimale avec les nombres décimaux : par exemple 23 dixièmes donnent le nombre 0,23.
• Prise en compte partielle ou erronée des données de l’énoncé : les unités d’une classe sont considérées comme des unités simples. Par exemple, 53 unités de mille deviennent 53 unités simples.

Lorsque les élèves réussissent, ils mobilisent les six règles correctes suivantes. Cependant, même dans les procédures produisant des réponses incorrectes, vous pourrez observer la mise en œuvre de l’une ou l’autre de ces règles correctes. Ainsi les réponses erronées de vos élèves contiennent souvent des éléments corrects à identifier, et votre expertise pour les repérer va se développer au fur et à mesure de l’observation de vos élèves. Vous pourrez vous appuyer sur ces réussites partielles pour ensuite intervenir auprès de vos élèves, afin de leur signifier ce qui est correct et proposer des remédiations sur ce qui reste non maîtrisé. Les six règles correctes à observer chez les élèves sont : 

• Ordonner les unités de numération selon la suite conventionnelle.
• Placer des zéros à droite pour compléter l’écriture chiffrée d’un nombre entier donné dans une autre unité de numération que les unités simples : exemple 12 centaines c’est 1 200 (écriture de deux zéros finaux pour positionner le « 12 centaines » au bon endroit dans l’écriture du nombre) .
• Placer des zéros intercalaires pour positionner les autres chiffres au bon endroit dans l’écriture du nombre : exemple 12 centaines et 5 unités c’est 1 205. Grace à l’utilisation d’un 0 entre 12 et le 5, le chiffre 2 désigne bien des centaines, le chiffre 5 des unités…
• Convertir, en unités simples, un nombre donné dans une autre unité de numération : exemple 12 centaines c’est 1200 unités (le mot unités étant souvent implicite), car 1 centaine = 100 unités donc 12 centaines = 12×100 = 1 200.
• Convertir, en unité de numération adjacente ou pas, un nombre donné dans autre une unité de numération : exemple 50 centaines c’est 5 milliers (conversion à gauche) ou 500 dizaines (conversion à droite mais pas en unité simple) ou…
• Prendre en compte les retenues, lorsqu’il y a deux nombres donnés dans une même unité de numération et que la somme est supérieure à 9 : 12 centaines et 9 centaines c’est 21 centaines donc 2 unités de mille et 1 centaine.

En conclusion, pour aider les élèves à modifier les procédures qui produisent des erreurs, il faut d’une part identifier les règles qui sont correctes même si la réponse finale est erronée et, d’autre part, repérer celles qui produisent des erreurs pour y remédier. Votre expertise de diagnostic se développera au fur et à mesure de l’usage du Chiffroscope et de votre observation du travail des élèves. 

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2. Les stratégies des élèves

Les règles du jeu et les caractéristiques mathématiques présentées ci-dessous s’imposent aux élèves. En effet, pour jouer au Chiffroscope, il faut en respecter les règles et en particulier celles qui résultent des mathématiques. Mais dans le cadre fixé par ces règles, les élèves peuvent développer différentes stratégies pour trouver le nombre mystère. Un espace de liberté et de choix est créé par le cadre construit et il permet l’apprentissage (Duflo 1995). 

Nous distinguons deux stratégies principales, correctes, mais qui ne reposent pas sur les mêmes principes :

• la stratégie par conversion à l’unité simple (conversion à droite) ;
• la stratégie par conversion vers les unités supérieures (conversion à gauche).

Pour trouver le nombre correspondant à ce tirage, c’est à dire le nombre égal à 23 milliers, 45 unités simples, 50 centaines, 11 centaines et 8 unités simples, les deux stratégies peuvent être utilisées.

Stratégie par conversions en unités simples et limite de cette stratégie

La stratégie de retour à l’unité (ou conversion en unités simples) consiste à convertir le nombre correspondant à chaque unité de numération en unités simples.

Cette stratégie nécessite des calculs importants avec les grands nombres et reste source de nombreuses erreurs (zéros oubliés ou en trop, non alignement des chiffres dans l’addition, erreurs de calculs…). La difficulté pour les élèves réside dans le fait que cette stratégie fonctionne parfaitement avec les nombres entiers. Il s’avère difficile de les inciter à en changer tant qu’ils n’en perçoivent pas la nécessité. Or, ce n’est qu’avec les nombres décimaux, que les élèves tentant d’appliquer cette stratégie habituelle seront démunis en constatant qu’elle ne fonctionne plus. Par exemple, il n’est pas possible de convertir 25 centièmes en unités simples et d’obtenir un entier. Selon les nombres à traiter, l’unité de numération à choisir pour convertir puis faire une addition d’entiers varie.

Stratégie de conversion en unités simples : exemple de travaux d’élèves illustrant les limites de cette stratégie

Cet exemple illustre les difficultés que rencontrent les élèves pour convertir de grands nombres en unités simples : oubli du fait qu’il n’y a pas eu de tirage aux unités simples, ce qui rend nécessaire les zéros correspondants (1), conversions à l’unité non traitées dans leur ensemble (2), défauts d’alignement des chiffres (3 et 5), erreurs de placement d’un nombre entraînant un nombre de zéros insuffisant ou trop grand, ici 57 centaines de mille et 91 dizaines de millions en (3) et 3 millions en (4), erreurs de calculs (5), rectifications qui viennent embrouiller davantage les calculs (5)…

En conclusion, cette stratégie valide est néanmoins coûteuse et peu efficace. Si c’est la seule stratégie disponible pour les élèves, elle les bloquera dès que les nombres seront grands ou bien avec les décimaux. Il est donc nécessaire d’engager les élèves dans la recherche de stratégies différentes, reposant sur d’autres principes pour obtenir le résultat.

Stratégie par conversions en unités de numération adjacentes

Exemple sur les nombres entiers 

Pour trouver le nombre cible, il suffit de convertir les unités de numération de façon à n’avoir qu’un seul chiffre par unité de numération, puis de placer les zéros pour que chaque chiffre non nul occupe la bonne place. Dans cette stratégie les conversions s’effectuent “vers la gauche” pour transformer 10 d’une unité en 1 de l’unité immédiatement supérieure. De plus, les additions sont limitées à des nombres à deux chiffres. Cela facilite le contrôle et limite les erreurs.

Soit le tirage de 23 milliers, 45 unités simples, 50 centaines, 11 centaines et 8 unités simples :

Illustration des conversions successives à partir des unités en remontant vers les dizaines, centaines etc… La description textuelle ci-dessous est lourde alors que la manipulation des cartes sur le plateau rendant compte des mêmes conversions est beaucoup plus simple et explicite !

• Les 45 et 8 unités simples sont additionnées pour obtenir 53 unités simples.
  53 unités simples sont décomposées en 50+3 et les 50 unités simples sont converties en 5 dizaines :
  
  Soit 5 dizaines et 3 unités
• Les 50 et 11 centaines sont additionnées pour obtenir 61 centaines.
  61 centaines sont décomposées en 60+1 centaines et les 60 centaines sont converties en 6 unités de milles :
  
  Soit 6 unités de mille et 1 centaine
• Les 23 unités de mille du tirage sont additionnées avec les 6 unités de milles résultant de la conversion précédente, soit 29 unités de milles, décomposées en 20+9 unités de milles et les 20 unités de milles sont converties en 2 dizaines de mille :
  
  Soit 2 dizaines de mille et 9 unités de mille
• Au final, il y a 2 dizaines de mille, 9 unités de mille, 1 centaine, 5 dizaines et 3 unités, soit le nombre 29 153.

Exemple de la stratégie par conversion entre unités de numération adjacentes sur les nombres décimaux 

Le tirage (1) est de 22 dizaines et 8 dizaines, 14 unités simples, 53 unités simples et 23 dixièmes, soit le nombre cible 369,3. Les élèves reproduisent sur un tableau blanc les valeurs des unités de numération obtenues lors du tirage des cartes (2). Ils en font l’addition, colonne par colonne, obtenant 30 dizaines, 67 unités et 23 dixièmes (2). Écrite dans le tableau, la réponse 30d 67u et 23 dixièmes est correcte (2). Mais sortie du tableau, (en bas (2)), l’écriture 3 067,23 est erronée. Elle provient de l’absence de conversions (simple juxtaposition des nombres dans l’ordre des unités de numération). Les élèves rectifient ensuite (3), sur les différents supports (plateau de jeu et tableau blanc), en effectuant la conversion entre unités de numération adjacentes : 67u deviennent 6d et 7u, 30d deviennent 3c et 0d et 23 dixièmes deviennent 2u et 3 dixièmes.

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3. Les Mises en commun

Les Mises en commun sont une étape clef de l’enseignement avec le jeu du Chiffroscope. Leur rôle est de s’appuyer sur les caractéristiques du Chiffroscope, rencontrées par les élèves lors des parties de jeu, pour expliciter les connaissances en numération décimale. Une fois que tous les élèves ont au moins joué une partie, elles les amènent à s’interroger sur ce qu’ils ont vécu au cours du jeu, elles permettent de recueillir leurs interrogations et propositions et de susciter les échanges entre eux. A partir de ces retours d’élèves et en vous appuyant sur des photos de plateau prises durant les parties et sur les Arrêts sur image, elles sont l’occasion de faire émerger les règles de la numération décimale, notamment celles qui ont permis de réussir, et donnent les moyens aux élèves de pouvoir les réutiliser dans d’autres situations. Elles contribuent ainsi de façon incontournable à la compréhension des notions abordées et à la construction de l’apprentissage visé.

Nous proposons cinq thèmes différents sur lesquels peuvent porter les Mises en commun.  L’observation des parties de jeu doit permettre de recueillir des éléments pour alimenter ces temps de bilan. Leur contenu sera à déterminer en fonction des priorités apparues au cours des parties de jeu.

Mise en commun sur les caractéristiques du jeu

• Rappel des règles du jeu : il est important de rappeler les règles du jeu et de les distinguer des stratégies de résolution. Les règles décrivent ce que l’on a le droit ou pas de faire pour jouer au Chiffroscope. Elles doivent être données explicitement aux élèves qui n’ont pas à inventer les règles du jeu. Les règles du jeu ne concernent pas ce qu’il est le plus intéressant ou efficace de faire pour réussir. Par exemple :
  • On tire autant de carte Nombre que de carte Unité de numération : un tirage correspond à l’association d’une carte Nombre à une Unité de numération.
  • On pose les paires de cartes comme on veut sur le plateau, mais en conservant l’association de la carte Nombre et la carte Unité de numération donnée par le tirage.
  • On peut tirer plusieurs fois une carte qui indique la même Unité de numération qu’une carte déjà tirée : dans ce cas on a le droit de la poser sur la carte déjà tirée, dans la même colonne et on pose la carte Nombre associée dans la colonne également (dessous la première carte Nombre).
• Il est difficile de résoudre le problème posé par un tirage du Chiffroscope sans écrire et faire des « opérations » intermédiaires. Pour cela les élèves peuvent manipuler les cartes, les échanger, écrire sur des ardoise… L’important est de bien se souvenir de l’association des cartes obtenue dans le tirage initial.

La discussion peut se poursuivre par l’inventaire des questions et problèmes rencontrés lors des parties de jeu, qui, elles, renvoient à la numération :

• Que faire quand plusieurs cartes Nombre occupent une même colonne, c’est-à-dire qu’elles sont relatives à une même unité de numération ?
• Comment traiter le cas d’une carte Nombre à 2 chiffres placée dans une colonne ?
• Que faire des colonnes sans cartes Unité de numération données par le tirage ? Celles intercalées entre deux colonnes étiquetées. Et celles situées à gauche du tableau ou à droite du tableau ? Sont-elles nécessaires pour écrire le nombre ? Comment le savoir ?

Mise en commun sur les particularités du tableau de numération : le tableau flottant

Au cours des parties, vos élèves vont remarquer que :

• Le nombre de colonnes est plus grand que celui strictement nécessaire.
• D’une partie à l’autre, les unités de numération ne sont pas dans les mêmes colonnes du plateau, mais au cours d’une partie, une fois la première unité de numérotation placée, les autres sont déterminées.
• Les unités simples ne sont pas toujours dans la dernière colonne de droite du plateau.
• Le tableau est ouvert à gauche comme à droite, suggérant l’existence d’autres unités de numération plus à droite ou plus à gauche.
• Certaines colonnes du tableau ne sont pas utilisées, à droite, à gauche ou même au milieu, entre des colonnes utilisées par un tirage.
• Des colonnes manquent pour poser tous les tirages, ou sont situées en dehors du plateau. Elles sont néanmoins nécessaires à l’écriture finale du nombre, à l’aide de zéros “à droite”.
• Des unités de numération absentes du tirage sont intercalées entre d’autres unités ayant fait l’objet d’un tirage. Elles sont nécessaires à l’écriture finale du nombre. Introduction des zéros intercalaires.

Caractéristiques du jeu rencontrées au cours d’une partie	Connaissances en numération et en mathématiques à expliciter
Le plateau de jeu est un tableau de numération à construire pour les besoins de la partie. Au cours du jeu, les joueurs doivent décider quelles colonnes sont utilisées (et ignorer les autres) et en ajouter de nouvelles si cela s’avère nécessaire pour poser les cartes du tirage.  Ils peuvent ajouter des colonnes à droite ou à gauche en posant des extensions au plateau initial.	Le tableau de numération est un outil au service des élèves pour organiser les nombres et savoir à quelle unité de numération ils correspondent.
Sur le plateau présent devant les joueurs, le nombre de colonnes est plus grand que nécessaire à la seule écriture du nombre recherché.	La présence de colonnes inutiles à droite ou à gauche suggère qu’elles pourront devenir utiles. Pour les élèves de cycle 2, on peut annoncer que d’autres colonnes seront utiles au fur et à mesure qu’on apprendra de nouveaux nombres. Pour tous les élèves, il est intéressant de ne pas réduire la taille du tableau aux nombres connus. Un tableau qui contient plus de colonnes que nécessaire aide les élèves à considérer le tableau comme un outil en n’utilisant que ce dont ils ont besoin.
Sur le plateau, le nombre de colonnes nécessaires n’est pas suffisant. Les joueurs peuvent créer autant de colonnes que nécessaires au dépôt des cartes puis à l’écriture du nombre. Un tirage de cartes peut ne pas contenir de cartes nombres pour certaines unités de numération, notamment tout à droite et éventuellement en dehors du plateau. Il faut cependant les prendre en compte pour écrire le nombre.	Le tableau de numération est un outil à construire selon les besoins pour résoudre le problème. A partir d’un tableau de 3 ou 4 colonnes, chacun peut ajouter autant de colonnes à droite ou à gauche que nécessaire pour résoudre le problème. Dans le cas des unités de numération situées aux extrémités gauche ou droite du plateau, les élèves doivent s’appuyer sur l’ordre des unités de numération pour compléter le tableau de numération en l’agrandissant à gauche ou à droite.
Le plateau de jeu est un “tableau flottant” c’est-à-dire sans indication des unités de numération : ainsi une colonne n’est pas dédiée à une unité de numération a priori. Au cours du jeu, les joueurs doivent choisir une première colonne pour déposer la première carte unité de numération,  notamment tout à droite et éventuellement en dehors du plateau. Il faut cependant les prendre en compte pour écrire le nombre.	Les unités de numération ont un ordre fixe. Dès qu’une unité de numération est positionnée dans le tableau, à partir du moment où l’on connaît l’ordre des unités de numération, on a toutes les informations pour placer les autres unités de numération en référence à la première. Prendre l’exemple de placer au tableau une unité de numération qui n’est pas les unités simples, par exemple les centaines, et compléter avec les élèves en demandant “qu’écrit-on à droite ?” “qu’écrit-on à gauche ?” En savoir plus…
Les unités simples ne sont pas toujours dans la dernière colonne à droite.	La colonne de droite du tableau n’est pas nécessairement la colonne dédiée aux unités simples. Ce qui est important c’est que les dizaines soient juste à gauche et, pour les cycles 3, les dixièmes juste à droite etc.
Toutes les unités de numération ne font pas l’objet d’un tirage de cartes nombre. Des tirages de cartes conduisent à des colonnes vides entre des colonnes avec cartes.	L’absence de carte nombre dans une colonne nécessite de traiter la question du chiffre qui complétera cette position. Selon les cas, il s’agit d’un zéro ou bien du résultat de la conversion de l’unité de numération plus petite. Tirage 7c, 4u et 2u, il n’y a pas de cartes aux dizaines. Dans le nombre cible, un zéro doit être écrit aux dizaines. Tirage 7c, 4u et 8u, il n’y a pas de cartes aux dizaines. Dans le nombre cible, le chiffre des dizaines est obtenu par conversion de 10 unités en 1 dizaine.

Mise en commun sur les stratégies de jeu en lien avec les propriétés de la numération

• La connaissance de l’ordre des unités de numération est nécessaire pour pouvoir réussir.
• Les conversions à l’unité simple peuvent permettre de réussir, mais parfois conduisent à des calculs longs et fastidieux, source d’erreurs.
• Les conversions entre unités adjacentes permettent de trouver le nombre en faisant des calculs sur des petits nombres.
• Les zéros intercalaires permettent de positionner des chiffres dans leur unité de numération dans l’écriture du nombre.
• Les stratégies possibles pour résoudre le problème donné :
  • le retour à l’unité (stratégie correcte mais très (trop) liée aux nombres entiers),
  • les conversions entre unités de numération : 1 unité de mille égale 1 000 mais aussi (et surtout) 10 centaines ou encore 100 dizaines, c’est-à-dire 1um = 1 000 = 10c = 100d
  • les zéros à ne pas oublier lorsqu’ils sont nécessaires.
  • Les stratégies erronées sont : la simple juxtaposition des cartes Nombres (ex : 14u et 5u → 145 u)  ou l’addition des cartes Nombre (ex : 8d, 12u → 20u). Pour quelle raison ces stratégies sont elles éronées ? Elles ne tiennent pas compte de la valeur indiquer par l’unité de numération (une dizaine n’est pas la même valeur qu’une centaine).

Caractéristiques du jeu rencontrées au cours d’une partie	Connaissances en numération et en mathématiques à expliciter
Une ou plusieurs cartes dans la même colonne.	Lorsqu’il y a plusieurs cartes dans une même colonne, cela signifie qu’on a, par exemple, 3 dizaines et encore 4 dizaines, d’où 7 dizaines. Il suffit d’additionner les valeurs et de considérer le total comme la valeur relative à l’unité de numération.
Des cartes nombres à 2 chiffres dans une colonne.	Tant que l’on travaille dans le tableau, il est possible d’avoir des nombres à deux chiffres dans une colonne, car la correspondance avec l’unité de numération est alors explicite. En écrivant le nombre hors du tableau, on perd l’information désignant l’unité de numération. Seule la position de chacun des chiffres dans l’écriture du nombre fournit l’information, alors indispensable, sur l’unité de numération correspondant à chacun d’eux. Ainsi, mais pour écrire le nombre hors du tableau il faut transformer l’écriture de façon à n’avoir qu’un seul chiffre par unité de numération. En voir plus…
Des tirages de cartes conduisent à des nombres plus grands que 10 dans certaines unités de numération. C’est le cas lors du tirage d’une carte nombre à deux chiffres, ou le résultat d’une addition de plusieurs cartes dans une colonne.	Des conversions entre unités de numération adjacentes sont nécessaires pour pouvoir extraire le nombre hors du tableau. Lorsqu’il y a plus de 10 dans une unité de numération, les élèves doivent réaliser une conversion de chaque dizaine de cette unité de numération avec une unité de l’unité de numération immédiatement supérieure. C’est le principe de la retenue. Par exemple avec 45 centaines, on a : 45c = 40c + 5c = 4um + 5c En convertissant 40 centaines en 4 unités de mille, il n’y a plus que des nombres à un chiffre dans chaque unité de numération. Cette conversion peut aussi conduire à plus de 10 dans l’unité de numération supérieure, entraînant des conversions en cascade.

Mise en commun sur la distinction entre écrire un nombre dans un tableau de numération ou en dehors

Avec les élèves, il devient possible de distinguer les écritures dans le tableau et celle du nombre en dehors du tableau. obéissant à des règles différentes. Il faut partir des constats suivants :

• Les zéros placés à la fin du nombre ou au milieu des chiffres nécessaire à l’écriture du nombre permettent d’écrire le nombre cherché en dehors du tableau.
• Des colonnes avec une ou plusieurs cartes Nombre à 1 chiffre.
• Des colonnes avec une ou plusieurs cartes Nombre à 2 chiffres.
• Un chiffre par colonne ? La question de chiffre de … et nombre de … peut être évoquée ici. On peut remettre en cause la ‘’règle’’ ou plutôt l’habitude de ne pas accepter un nombre à 2 chiffres par colonne. Placer 1 chiffre par colonne reproduit la règle de l’écriture du nombre hors du tableau dans lequel chaque chiffre représente une unité et une seule selon sa position car aucun autre élément ne permettrait de le savoir. Il faut y parvenir pour sortir le nombre du tableau mais après une phase de conversions entre unités adjacentes.

Caractéristiques du jeu rencontrées au cours d’une partie	Connaissances en numération et en mathématiques à expliciter
Des cartes nombres à 2 chiffres dans une colonne.	Tant que l’on travaille dans le tableau, il est possible d’avoir des nombres à deux chiffres dans une colonne, car la correspondance avec l’unité de numération est alors explicite. En écrivant le nombre hors du tableau, on perd l’information désignant l’unité de numération. Seule la position de chacun des chiffres dans l’écriture du nombre fournit l’information, alors indispensable, sur l’unité de numération correspondant à chacun d’eux. Ainsi, mais pour écrire le nombre hors du tableau il faut transformer l’écriture de façon à n’avoir qu’un seul chiffre par unité de numération. En voir plus…
Toutes les unités de numération ne font pas l’objet d’un tirage de cartes nombre. Des tirages de cartes conduisent à des colonnes vides entre des colonnes avec cartes.	L’absence de carte Nombre dans une colonne nécessite de traiter la question du chiffre qui complétera cette position. Selon les cas, il s’agit d’un zéro ou bien du résultat de la conversion de l’unité de numération plus petite. Exemple du tirage 7c, 4u et 2u, il n’y a pas de cartes Nombre aux dizaines. Dans le nombre cible, un zéro doit être écrit aux dizaines. Exemple du tirage 7c, 4u et 8u, il n’y a pas de cartes aux dizaines mais il y a 12u. Dans le nombre cible, le chiffre des dizaines est obtenu par conversion de 10 unités en 1 dizaine.
Des tirages de cartes conduisent à des nombres plus grands que 10 dans certaines unités de numération. C’est le cas lors du tirage d’une carte nombre à deux chiffres, ou le résultat d’une addition de plusieurs cartes dans une colonne.	Des conversions entre unités de numération adjacentes sont nécessaires pour pouvoir extraire le nombre hors du tableau. Lorsqu’il y a plus de 10 dans une unité de numération, les élèves doivent réaliser une conversion de chaque dizaine de cette unité de numération avec une unité de l’unité de numération immédiatement supérieure. C’est le principe de la retenue. Par exemple avec 45 centaines, on a : 45c = 40c + 5c = 4um + 5c En convertissant 40 centaines en 4 unités de mille, il n’y a plus que des nombres à un chiffre dans chaque unité de numération. Cette conversion peut aussi conduire à plus de 10 dans l’unité de numération supérieure, entraînant des conversions en cascade.

Mise en commun sur la collaboration entre les élèves

Les Mises en commun sont aussi l’occasion de faire le point sur la collaboration entre les élèves pour réussir, puisqu’il s’agit de trouver ensemble la réponse. Cela peut les amener à expliciter leurs stratégie et leur points de vue, à condition que vous les aidiez à organiser la collaboration. Vous pouvez travailler avec eux les points suivants :

• La répartition des rôles entre joueurs : par exemple chacun tire soit une carte Nombre soit une carte Unité de numération.
• Comment travailler à deux ? Ne pas laisser l’autre faire ou faire tout seul, mais s’assurer que l’autre est d’accord pour la même réponse.
• Comment s’expliquer mutuellement (ou pas) leur point de vue ? Faire les manipulations pour montrer à l’autre élève son propre raisonnement, écrire chacun les conversions et le nombre obtenu puis comparer…
• Comment les joueurs parviennent (ou pas) à écrire ensemble le même nombre ? Écrire séparément le nombre obtenu puis discuter jusqu’à se mettre d’accord sur un seul nombre.
• A quelles conditions la collaboration a-t-elle conduit (ou pas) à la résolution ? Chaque élève peut essayer une stratégie différente. Mais elles doivent aboutir au même résultat.
• Quelles sont les traces produites au cours du jeu ? C’est l’occasion de les inciter à écrire pour trouver la solution. Proposer de tenir un cahier des tirages et des nombres réponses trouvés.